Известно, что в механической системе резонанс наступает при равенстве собственной частоты колебаний системы и частоты колебаний возмущающей силы, действующей на систему. Колебания механической системы, например колебания маятника, сопровождаются периодическим переходом кинетической энергии в потенциальную и наоборот. При резонансе механической системы малые возмущающие силы могут вызывать большие колебания системы, например большую амплитуду колебаний маятника.
В цепях переменного тока, где есть индуктивность и емкость, могут возникнуть явления резонанса, которые аналогичны явлению резонанса в механической системе. Однако полная аналогия - равенство собственной частоты колебаний электрического контура частоте возмущающей силы (частоте напряжения сети) - возможна не во всех случаях.
В общем случае под резонансом электрической цепи понимают такое состояние цепи, когда ток и напряжение совпадают по фазе, и, следовательно, эквивалентная схема цепи представляет собой активное сопротивление. Такое состояние цепи имеет место при определенном соотношении ее параметров r, L, С , когда резонансная частота цепи равна частоте приложенного к ней напряжения.
Резонанс вэлектрической цепи сопровождается периодическим переходом энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля индуктивности и наоборот.
При резонансе в электрической цепи малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызвать значительные токи и напряжения на отдельных ее участках. В цепи, где r, L, С соединены последовательно, может возникнуть резонанс напряжений, а в цепи, где r, L, С соединены параллельно,- резонанс токов.
Рассмотрим явление резонанса напряжений на примере цепи рис. 2.11, а .
Как отмечалось, при резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. угол φ = 0. и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.
z = √r 2 + (x L - x С ) 2 = r.
Это равенство, очевидно, будет иметь место, если x L = х С, т. е. реактивное сопротивление цепи равно нулю:
x = x L - x С = 0.
Выразив x L и x С соответственно через L , С и f , получим
| Рис. 2.14. Векторная диаграмма (а ) и графики мгновенных значений и, i, р (б ) цепи рис. 2.11, а при резонансе напряжений |
вытекает, что ток в цепи при резонансе равен напряжению, деленному на активное сопротивление:
I = U/r.
Ток в цепи может оказаться значительно больше тока, который был бы при отсутствии резонанса. При резонансе напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости:
Ix L = Ix С = U L = U C .
При больших значениях x L и х C относительно r эти напряжения могут во много раз превышать напряжение сети. Резонанс в цепи при последовательном соединении потребителей носит название резонанса напряжений.
Напряжение на активном сопротивлении при резонансе равно напряжению, приложенному к цепи:
U r = Ir = U.
На рис. 2.14, а изображена векторная диаграмма цепи рис. 2.11, а при резонансе напряжений Диаграмма подтверждает тот факт, что ток совпадает по фазе с напряжением сети и что напряжение на активном сопротивлении равно напряжению сети. Реактивная мощность при резонансе равна нулю:
Q = Q L - Q C = U L I - U C I = 0.
так как U L = U C .
Полная мощность равна активной мощности;
S = √P 2 + Q 2 = P,
так как реактивная мощность равна нулю. Коэффициент мощности равен единице:
cos φ = P/S = r /z = 1.
Поскольку резонанс напряжений возникает, когда индуктивное сопротивление последовательной цепи равно емкостному, а их значения определяются соответственно индуктивностью, емкостью цепи и частотой сети,
| x L = 2πfL, x С = | . | |
| 2πfС |
Резонанс может быть получен или путем подбора параметров цепи при заданной частоте сети, или путем подбора частоты сети при заданных параметрах цепи.
На рис. 2.14, б
изображены графики мгновенных значений тока i
, напряжения и
сети и напряжений и L , и C , и r
на отдельных участках, а также активной р = iu r
и реактивной p L = iи L ,
p С = iи С
мощностей за период для цепи рис. 2.11. а
при резонансе напряжений. С помощью этих графиков можно проследить энергетическне процессы, происходящие в цепи при резонансе напряжений.
Активная мощность р все время положительна, она поступает из сети к активному сопротивлению и выделяется в нем в виде тепла. Мощности p L и р С знакопеременные, и, как видно из графика, их средние значения равны нулю.
В момент времени t
= 0 (точка I
на рис. 2.14, б
) ток в цепи i
= 0 и энергия магнитного поля
W L =
0. Напряжение на емкости равно амплитудному значению U тС,
конденсатор заряжен и энергия его электрического поля
| W C = | U 2 тc С | . |
В первую четверть периода, в интервале времени между точками 1 и 2, напряжение на емкости и, следовательно, энергия электрического поля убывают. Ток в цепи и энергия магнитного поля возрастают.
В конце первой четверти периода (точка 2 ) и С = 0, W С = 0. i = I m , W L = I 2 m L/ 2.
Таким образом, в первую четверть периода энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля.
Так как площади p С (t ) и p L (t ) , выражающие запас энергии соответственно в электрическом и магнитном полях, одинаковы, вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля индуктивности. Во вторую четверть периода, в интервале между точками 2 и 3 , энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля.
 |
| Рис. 2.15. Графики зависимости I, r, х C , х L , U r , U L , U C от частоты цепи, изображенной на рис 2.11, а |
Аналогичные процессы происходят и в последующие четверти периода.
Таким образом, при резонансе реактивная энергия циркулирует внутри контура от индуктивности к емкости и обратно. Обмена реактивной энергией между источниками и цепью не происходит. Ток в проводниках, соединяющих источник с цепью, обусловлен только активной мощностью.
Для анализа цепей иногда используют частотный метод, позволяющий выяснить зависимость параметров цепи и других величин oт частоты.
На рис 2.15 изображены графики зависимости U r , U C , U L , I, х C , х L , от частоты при неизменном напряжении сети.
При f
= 0 сопротивления x L =
2πfL
= 0,
х C
= 1/
2πfC
= ∞, ток I
= 0, напряжения U r = I r =
0,
U L = Ix L =
0, U C = U.
При f
= f
pез х L = х C , I
= U/r, U L = U C , U r
= U.
При f
→ ∞ x L
→∞, х C
→ 0, U r
→ 0, U C
→ 0, U L
→ U
.
В интервале частот от f = 0 до f = f pез нагрузка имеет активно-емкостный характер, ток опережает по фазе напряжение сети. В интервале частот f = f pез до f → ∞ нагрузка носит активно-индуктивный характер, ток отстает по фазе от напряжения сети.
Наибольшее значение напряжения на емкости получается при частоте, несколько меньшей резонансной, на индуктивности - при частоте, несколько большей резонансной.
Явления резонанса широко используются в радиоэлектронных устройствах и в заводских промышленных установках.
Пример 2.4. Определить частоту сети, при которой в цепи рис. 2.11, а возникает резонанс напряжений. Определить также, во сколько раз напряжение на индуктивности больше напряжения сети при резонансе, если цепь имеет следующие параметры:
r = 20 Ом, L = 0,1 Гн, С = 5 мкф.
Решение. Резонансная частота
Напряжение на индуктивности при резонансе в 7 раз больше напряжения сети.
| Резонанс в электрической цепи. | |
| Резонанс в электрической цепи - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тока при приближении частоты внешнего напряжения (эдс) и собственной частоты колебательного контура. | |
| Из выражения для полного сопротивления переменному току видим, что сопротивление будет минимальным (сила тока при заданном напряжении – максимальной) при условии или . |  |
Следовательно,  - т.е. частота изменения внешнего напряжения равна собственной частоте колебаний в контуре.
| |
Амплитуды колебаний напряжения на индуктивности и емкости будут равны
и 
- т.е. они равны по величине и противоположны по фазе (напряжение на индуктивности опережает по фазе напряжение на емкости на p).
| |
| Следовательно, . | |
| Полное падение напряжения в контуре равно падению напряжения на активном сопротивлении. Амплитуда установившихся колебаний тока будет определяться уравнением . В этом и состоит смысл явления резонанса. | |
| При этом если величина , то напряжения на емкостной и индуктивной нагрузках могут оказаться много больше внешнего напряжения (эдс генератора)! |  |
| На рисунке представлена зависимость тока в колебательном контуре от частоты при значениях R, гдеR 1 | |
В параллельном контуре при малых активных сопротивлениях R 1 и R 2 токи в параллельных ветвях противоположны по фазе. Тогда, согласно правилу Кирхгофа  .
|  |
В случае резонанса  . Резкое уменьшение амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные емкостное и индуктивное сопротивления при приближении частоты внешнего напряжения к собственной частоте колебательного контура наз. резонансом токов.
| |
| Применение: одно из основных применений резонанса в электрической цепи – настройка радио и телевизионных приемников на частоту передающей станции. Необходимо учитывать резонансные явления, когда в цепи, не рассчитанной на работу в условиях резонанса, возникают чрезмерно большие токи или напряжения (расплавление проводов, пробой изоляции и т.д.). |
44.45.Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла. Применение и наблюдение вихревых полей.
Как мы знаем из закона электромагнитной индукции Фарадея, в замкнутом контуре индуцируется ЭДС при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур
Если контур (проводник) движется, то причиной возникновения ЭДС может быть сила Лоренца. Если же контур неподвижен, то и в этом случае, как показывает опыт, в нём возникает ЭДС, определяемая уравнением (3.93). Какова же в этом случае причина возникновения ЭДС? Под действием ЭДС в контуре возникает электрический ток. Это значит, что на электроны проводника действует электрическое поле. Если контур жёсткий, то можно записать
. (3.94)
(Мы поставили знак частной производной, поскольку магнитная индукция может зависеть и от координаты и от времени.) Из 14.2 следует, что циркуляция этого поля по замкнутому контуру не равна нулю, в отличие от электростатического поля. Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле порождаетвихревое электрическое поле, независимо от того, имеется у нас проводящий контур или нет. Просто если он есть, то позволяет зарегистрировать вихревое электрическое поле Е В .
Левую часть уравнения (3.94) можно преобразовать по формуле Стокса 
. Тогда, вместо уравнения (3.94), получим
. (3.95)
Поскольку интегрирование может производиться по любой поверхности, опирающейся на контур L , то в каждой точке этой поверхности должны равняться подынтегральные выражения
. (3.96)
Поле Е В существенно отличается от электростатического поля, для которого, как мы помним, циркуляция по замкнутому контуру равна нулю: , а значит, в соответствии с теоремой Стокса, и ротор этого поля в любой точке равен нулю:
В общем случае
но для ротора суммарного поля, в силу уравнения (3.97), остаётся справедливым соотношение (3.96). Таким образом,
. (3.99)
Поскольку переменное магнитное поле порождает электрическое, как это следует из закона индукции Фарадея и полученной нами из этого закона формулы (3.99), то должно существовать и обратное явление – переменное электрическое поле должно порождать магнитное поле. Для установления количественных соотношений рассмотрим процесс заряда конденсатора.
|
Для начала определим поле вблизи поверхности металлической обкладки конденсатора. Применим терему Гаусса для вектора электрического смещения к одной из обкладок (рис. 3.21). Внутри металла поле равно нулю, а снаружи направлено перпендикулярно поверхности. Следовательно, поток через весь цилиндр сведётся к потоку через верхнее основание цилиндра площадью dS. И этот поток должен равняться заряду, заключённому внутри нашего цилиндра, или DdS=sdS , или
D=s . (3.100)
Здесь s – поверхностная плотность зарядов на обкладке конденсатора.
Как мы уже говорили, Максвелл предположил, что изменяющееся электрическое поле создаёт магнитное поле. Но мы знаем, что постоянное магнитное поле создаётся токами. Поэтому естественно предположение, что должен быть ещё один ток, который Максвелл назвал током смещения и который ответственен за создание магнитного поля. Для установления вида этого тока смещения, рассмотрим соотношение (3.100) справа налево, а именно
s =D. (3.101)
Умножим обе части на площадь пластины S и получим
q =sS= DS. (3.102)
Здесь q – заряд пластины конденсатора. Во время заряда конденсатора ток в подводящем проводе
. (3.103)
Разделив обе части последнего уравнения на площадь пластины S, получим слева ток проводимости j=I/S , а справа – плотность нового, максвелловского тока, или плотность тока смещения. Таким образом,
В последнем уравнении мы поставили значки векторов – для общего случая и написали частную производную, поскольку в общем случае вектор электрического смещения может зависеть и от координаты.
Проанализировав полученные результаты, Максвелл ввёл понятие общего тока как суммы токов проводимости и тока смещения. Здесь подчеркнём, что ток смещения – это просто название изменяющегося во времени электрического поля. Единственная функция тока смещения – создавать магнитное поле. Тогда обобщенный закон полного тока будет иметь вид
, (3.105)
или окончательно
. (3.106)
Максвелл создал замкнутую макроскопическую теорию электромагнитного поля. В основе этой теории лежат его знаменитые уравнения. Первая пара связывает основные характеристики электрического и магнитного полей
; (3.107)
В уравнении (3.107) под полем E надо понимать полное поле – поле, созданное неподвижными зарядами, и поле, созданное изменяющимся магнитным полем. Уравнение (3.108) отражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов.
Вторая пара уравнений Максвелла связывает вспомогательные характеристики электрического и магнитного полей
; (3.109)
Уравнение (3.109) является следствием того, что магнитное поле создаётся как токами проводимости, так и токами смещения (изменяющимся во времени электрическим полем). И уравнение (3.110) говорит нам, что источниками электрического поля (помимо изменяющегося магнитного поля) являются электрические заряды. Уравнения Максвелла (3.107)…(3.110) называются уравнениями Максвелла в интегральной форме.
Уравнения Максвелла дополняются так называемыми материальными уравнениями, которые устанавливают связь между вспомогательными и основными характеристиками полей. Для однородной и изотропной неферромагнитной среды эти уравнения имеют вид
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей, поскольку в природе нет магнитных зарядов.
Уравнения Максвелла позволили предсказать существование электромагнитных волн – распространяющихся в пространстве со скоростью света переменных электрического и магнитного полей. Вскоре электромагнитные волны были обнаружены немецким физиком Г.Герцем. Оказалось, что их свойства полностью описываются уравнениями Максвелла. Это также позволило Максвеллу создать электромагнитную теорию света – как электромагнитных волн с длиной волны .
Если применить к уравнениям (3.107)…(3.110) теоремы Гаусса и Стокса, то получим уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
; (3.112)
; (3.114)
Уравнения (3.98)…(3.101) связывают локальные характеристики поля в каждой точке.
46.Система уравнений Максвелла.
В электротехнике при анализе режимов работы электрических цепей широко используется понятие двухполюсника. Двухполюсником принято называть часть электрической цепи произвольной конфигурации, рассматриваемую относительно двух выделенных выводов (полюсов). Двухполюсники, не содержащие источников энергии, называются пассивными. Всякий пассивный двухполюсник характеризуется одной величиной – входным сопротивлением, т.е. сопротивлением, измеряемым (или вычисляемым) относительно двух выводов двухполюсника. Входное сопротивление и входная проводимость являются взаимно обратными величинами.
Пусть пассивный двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и один или несколько конденсаторов. Под резонансным режимом работы такого двухполюсника понимают режим (режимы) двухполюсника при котором входное сопротивление является чисто активным. По отношению к внешней цепи двухполюсник ведет себя как активное сопротивление, вследствие чего входные напряжение и ток совпадают по фазе. Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс напряжения и резонанс тока.
Резонанс напряжений
В простейшем случае резонанс напряжений может быть получен в электрической цепи переменного тока при последовательном включении катушки индуктивности и конденсаторов. При этом, изменяя емкость конденсаторов при постоянных параметрах катушки, получают резонанс напряжений при неизменных значениях напряжения и индуктивности, частоты и активного сопротивления цепи. При изменении емкости конденсаторов С происходит изменение реактивного емкостного сопротивления. При этом полное сопротивление цепи также изменяется, следовательно, изменяются ток, коэффициент мощности, напряжения на катушке индуктивности, конденсаторах, а также активная, реактивная и полная мощности электрической цепи. Зависимости токаI , коэффициента мощности cosи полного сопротивленияZ цепи переменного тока в функции емкостного сопротивления (резонансные кривые) для рассматриваемой цепи приведены на рис. 9,а . Векторная диаграмма тока и напряжений этой цепи при резонансе представлена на рис. 9,б .
Как видно из этой диаграммы, реактивная составляющая напряжения U L на катушке при резонансе равна напряжениюU С на конденсаторе. При этом напряжение на катушке индуктивностиU к при резонансе вследствие того, что катушка кроме реактивного сопротивленияX L обладает еще и активным сопротивлениемR , несколько больше, чем напряжение на конденсаторе.
Анализ представленных выражений (2), а также рис. 9,а иб показывают, что резонанс напряжений имеет ряд отличительных особенностей.
1. При резонансе напряжений полное сопротивление электрической цепи переменного тока принимает минимальное значение и оказывается равным ее активному сопротивлению, т.е.
2. Из этого следует, что при неизменном напряжении питающей сети (U = const) при резонансе напряжений ток в цепи достигает наибольшего значенияI =U /Z =U /R . Теоретически ток может достигать больших значений, определяемых напряжением сети и активным сопротивлением катушки.
а )б )
3. Коэффициент мощности при резонансе cos=R /Z =R /R = 1, т.е. принимает наибольшее значение, которому соответствует угол= 0. Это означает, что вектор токаи вектор напряжения сетипри этом совпадают по направлению, так как они имеют равные начальные фазы i = u .
4. Активная мощность при резонансе P =RI 2 имеет наибольшее значение, равное полной мощностиS , в то же время реактивная мощность цепиQ =XI 2 = (X L X C)I 2 оказывается равной нулю:Q =Q L Q C = 0.
5. При резонансе напряжений напряжения на емкости и индуктивности оказываются равными U С =U L =X C I =X L I и в зависимости от тока и реактивных сопротивлений могут принимать большие значения, во много раз превышающие напряжение питающей сети. При этом напряжение на активном сопротивлении оказывается равным напряжению питающей сети, т.е.U R =U .
Резонанс напряжений в промышленных электротехнических установках нежелательное и опасное явление, так как оно может привести к аварии вследствие недопустимого перегрева отдельных элементов электрической цепи или пробою изоляции обмоток электрических машин и аппаратов, изоляции кабелей и конденсаторов при возможном перенапряжении на отдельных участках цепи. В то же время резонанс напряжений широко используется в различного рода приборах и устройствах электроники.
Резонансом напряжений называется режим электрической цепи синусоидального тока с последовательным соединенением резистивного R, индуктивноо L и емкостного С элементов , при котором угол сдвига фаз между общим напряжением (напряжением сети ) и током в цепи равен нулю .
Условием наступления резонанса напряженийявляется равенство индуктивного и емкостного сопротивлений цепи :
X L = X C . (3.27)
Электрическая цепь, питаемая синусоидальным переменным током, в которую входит конденсатор и катушка индуктивности называется колебательным контуром .
Резонанс напряжений можно получить тремя способами:
1. Изменением частоты w синусоидального тока;
2. Изменением величин индуктивности или емкости колебательного контура, при котором меняются индуктивное X L или емкостное X C сопротивление;
3. При одновременном изменении параметров w, L , C цепи колебательного контура.
Из условия резонанса напряжения (3.27) следует, что так как
X L = wL и X C = 1/wC ,
то при резонансе напряжений
где w рез, рад/сек – резонансная частота.
Резонанс напряжений характеризуется рядом существенных особенностей :
1. Так как при резонансе напряжений угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю (j = y u – y i = 0), то коэффициент мощности при резонансе принимает наибольшее значение, равноеединице :
cos j = cos 0° = 1. (3.29)
В этом случае, как видно из векторной диаграммы на рис. 3.22,а, вектор тока и вектор общего напряжения совпадают по направлению, так как они имеют равные начальные фазы y u = y i .
2. При резонансе напряжений векторы напряжения на индуктивном и емкостном элементах оказываются равными по величине и противоположными по фазе :
U L рез = U C рез (3.30)
так как X L I = X C I , а в комплексной форме (см. рис. 3.22,а).
3. Напряжение на активном сопротивлении при резонансе напряжений оказывается равным напряжению сети (рис. 4.22,а) так как
. (3.31)
В комплексной форме .
4. Отношение индуктивного или емкостного сопротивлений к активному сопротивлению цепи с R,L,C -элементами при резонансе называется добротностью колебательного контура Q
. (3.32)
Умножив числитель и знаменатель этих дробей на ток I , получим выражения для добротности колебательного контура через отношения напряжений
. (3.33)
При больших значениях индуктивного X L
и емкостного X C
сопротивлений и малых значениях активного сопротивления R
цепи (R
<< X L = X C
), т.е. при высоких значениях добротности Q
колебательного контура напряжения
U L
рез = U C
рез >> U
:
U L рез /U = X L рез /R = Q >> 1; U C рез /U = X C рез /R = Q >> 1, (3.34)
то есть напряжение на индуктивности и конденсаторе последовательного колебательного контура при его высокой добротности в режиме резонанса напряжений могут во много раз превысить напряжение питания .
Например, если у колебательного контура последовательной цепи с
R,L,C
-элементами, питаемым синусоидальным напряжением U
= 220 В, R
= 1 Ом, X L
рез = X C
рез = 1000 Ом, то напряжение на индуктивности и конденсаторе, как следует из (3.34) равно:
U L рез = U C рез = U·Q =220·1000 = 220000 В = 220 кВ.
Поэтому при работе электротехнического оборудования, питаемого сетевым напряжением 220/380 вольт резонанс напряжений никогда не используется .
Однако в разнообразных устройствах радиотехники и электроники, где напряжение питания колебательного контура составляет микровольты
(1мкВ = 10 -6 В), резонанс напряжений широко используется, позволяя многократно усилить входной сигнал в виде синусоидального напряжения.
Рис. 3.22. Резонанс напряжений в цепи с последовательным соединением R,L,C-элементов
а) – векторная диаграмма ; б) – вырожденный треугольник сопротивлений (Х = 0);
в) – вырожденный треугольник мощностей (Q = 0)
5. Так как при резонансе напряжений X L = X C (3.27), то полное сопротивление цепи принимает минимальное значение , равное активному сопротивлению :
а общее реактивное сопротивление цепи становится равным нулю :
X рез = |X L – X C | = 0. (3.36)
Поэтому треугольник сопротивлений при резонансе напряжений имеет вырожденный характер , как показано на рис. 3.22,б.
6. На основании закона Ома и из формулы (3.35) следует, что ток I в цепи при резонансе напряжений достигает наибольшего значения :
I рез = U /Z рез = U /R . (3.37)
Отсюда следует, что ток в цепи при резонансе напряжений может оказаться значительно больше тока, который мог бы быть при отсутствии резонанса .
Это свойство позволяет обнаружить резонанс напряжений при изменении частоты w, изменении индуктивности L или емкости С . Однако резонансный ток при определенных условиях опасен – он может, достигнув чрезмерно большой величины, привести к перегреву элементов цепи и выходу их из строя.
7. Активная мощность при резонансе напряжений имеет наибольшее значение , так как связана с квадратом тока
P = (I рез) 2 R , (3.38)
а ток I рез – максимален.
8. Общая реактивная мощность Q при резонансе напряжений равна нулю :
Q =½Q L – Q C ½ = ½U L I – U C I ½ = 0, (3.39)
так как U L = U C . Поэтому треугольник мощностей при резонансе имеет вырожденный характер , как показано на рис. 3.22,в.
9. При условии R << X L = X C (т.е. при высокой добротности колебательного контура) реактивнаяиндуктивная и емкостная мощности
Q L = Q C >> S = P , (3.40)
то есть эти мощности могут во много раз превысить потребляемую полную мощность S . При этом полная мощность S при резонансе целиком выделяется на резистивном элементе R , в виде активной мощности Р .
Физически это объясняется тем, что при резонансе напряжений происходит периодический обмен энергии магнитного поля в индуктивном элементе и энергии электрического поля в конденсаторе. При этом интенсивность этого обмена, как величины реактивных мощностей Q L и Q C , в сравнении с потребляемой активной мощностью Р
Q L /P = X L /R = Q ; Q C /P = X C /R = Q (3.41)
определяется соотношениями реактивных и активного сопротивления цепи, как и для напряжений U L , U C и U , то есть добротностью Q колебательного контура цепи (см. п.4).
Кривые, выражающие зависимость полного тока I , сопротивления цепи Z , напряжения на индуктивности U L и конденсаторе U С , коэффициента мощности cos j от емкости батареи конденсатора С , называются резонансными кривыми .
На рис. 3.23 приведены резонансные кривые (U L , U С , I , Z , cos j) = f (C ), построенные в общем виде при U = const и w = 2pf = const .
Рис. 3.23. Резонансные кривые U L
, U С
, I
, Z
, cos
j в зависимости от емкости С
при последовательном соединении катушки индуктивности и батареи конденсаторов
Анализ этих зависимостей показывает, что при увеличении емкости С батареи конденсаторов полное сопротивление цепи Z сначала уменьшается, достигает минимума в режиме резонанса и становится равным активному сопротивлению R , а затем снова возрастает с увеличением емкости. Соответственно изменению Z меняется полный ток цепи (по закону Ома I обратно пропорционален Z ): с ростом емкости конденсаторов ток I вначале увеличивается, достигает максимума в режиме резонанса, а затем вновь уменьшается.
Коэффициент мощности cos j изменяется с изменением емкости С в том же порядке: сначала с увеличением емкости С коэффициент мощности возрастает, достигая максимума равного единице в режиме резонанса, а затем уменьшается, в пределе стремясь к нулю.
Напряжения на индуктивности и конденсаторах имеют максимумы вблизи режима резонанса и становятся равными друг другу в этом режиме. Следует отметить, что достигаемые величины напряжений на конденсаторах и катушке индуктивности в режиме резонанса напряжений и вблизи него могут во много раз превышать входное напряжение приложенное ко всей цепи (см. п. 4).
С точки зрения электробезопасности и безаварийного режима работы, это следует учитывать при проведении исследования резонанса напряжения на стенде, задавая величину напряжения питания цепи U в достаточно низких пределах (U = 20 ¸ 25 В).
Таким образом, резонансные кривые позволяют установить минимальное полное сопротивление и наибольший ток в цепи при максимуме коэффициента мощности, равном единице, когда в цепи с последовательным соединением катушки индуктивности и батареи конденсаторов возникает резонанс напряжений.
Выводы :
1. Резонанс напряжений в промышленных электротехнических установках , питаемых синусоидальным сетевым напряжением 220/380 В – нежелательное и опасное явление , так как может вызвать аварийную ситуацию при возможном перенапряжении на отдельных участках цепи, привести к пробою изоляции обмоток электрических машин и аппаратов, изоляции кабелей и конденсаторов и опасно для обслуживающего персонала.
2. В то же время, резонанс напряжений широко используется в радиотехнике, в автоматике и электронике для настройки колебательных контуров в резонанс на определенную частоту, а также в различного рода приборах и устройствах, основанных на резонансном явлении.
Лабораторная работа 2б делится на четыре части:
1. Подготовительная часть.
2. Измерительная часть (проведение опытов и снятие показаний приборов).
3. Расчетная часть (определение расчетных величин по формулам).
4. Оформительская часть (построение векторных диаграмм).
Примечание
Электромонтажные работы по исследованию резонанса напряжений в цепи с последовательным соединением R,L,C -элементов на модернизированном лабораторном стенде ЭВ-4 не проводятся , в отличие от работ на старых стендах (см. в – Работа 2б, п.2. Электромонтажная часть).
1. Подготовительная часть
Подготовка к проведению лабораторной работы включает:
1. Изучение теоретической части настоящего пособия и литературы , относящихся к теме данной работы.
2. Предварительное оформление лабораторной работы в соответствии с существующими требованиями .
В результате предварительного оформления лабораторной работы №2б в рабочей тетради или журнале (на листах формата А4 с компьютерной распечаткой) студентом должен быть заполнен титульный лист, в работе должны быть указаны название работы и ее цель, приведены основные сведения по работе, взятые из раздела выше и формулы, необходимые для вычисления расчетных величин, представлены принципиальные и эквивалентные схемы замещения, заготовлены таблицы, соответственно числу опытов в работе.
Кроме этого, должно быть оставлено свободное место для построения векторных диаграмм.
2. Измерительная часть
Необходимые измерения параметров исследуемой цепи однофазного тока с последовательным соединением электроприемников при резонансе напряжений проводятся с помощью принципиальной схемы (рис. 3.24). Данная схема соответствует панели модернизированног стенда ЭВ-4 с аналогичной мнемосхемой и цифровыми измерительными приборами (см. фото на рис. 3.26).
Для более заметного вида резонансных кривых в последовательной цепи электроприемников резистор R отсутствует (на принципиальной схеме рис. 3.23 он зашунтирован).
Этой схеме соответствует схема замещения с последовательно соединенными , показанная на рис. 3.25.
3.24 Принципиальная схема цепи с последовательно соединенными
катушкой индуктивности и батареей конденсаторов
3.25 Схема замещения цепи с последовательно соединенными
катушкой индуктивности и батареей конденсаторов
для исследования резонанса напряжений
1. Перед подачей питания к исследуемой цепи на панели стенда с мнемосхемой и цифровыми измерительными приборами (рис. 3.26) перевести все выключатели (S 1 ÷ S 6 , S" 1 ÷ S" 6), расположенные на этой панели, в нижнее положение (состояние – «откл»).
Рис. 3.26. Паналь стенда с цифровыми измерительными приборами и
мнемосхемой для проведения лабораторой работы 2б «Резонанс напряжений
в однофазной цепи с активно-реактивными элементами»
2. На панели стенда из последовательной цепи R,L,C -элементов исключить резистор R , зашунтировав его с помощью электромонтажного провода (красный провод-шунт на принципиальной схеме рис. 3.24) вставив его концы в гнезда по бокам вольтметра V R .
3. Установить начальную общую емкость конденсаторов С = 40 мкФ нажатием соответствующих черных кнопок выключателей рядом с подключаемыми конденсаторами на панели №4 стенда с мнемосхемой батареи конденсаторов (см. рис. 3.28).
4. Подключить лабораторный автотрансформатор (ЛАТР), установленный на горизонтальной панели блока питания (рис. 3.27) к сетевому напряжению (~220 В), нажав черные кнопки «вкл» выключателей. При этом загораются две сигнальные лампы «сеть». После этого нужнообязательноповернуть ручку регулятора ЛАТРАа против часовой стрелки до упора , тем самым, снизив напряжение на его выходе до нуля.
Рис. 3.27. Панель блока питания лабораторного стенда
Рис. 3.28. Панель №4 стенда с мнемосхемами батареи конденсаторов
и катушки индуктивности
5. Подать регулируемое напряжение от ЛАТРа ко входу исследуемой цепи и подключить цифровые измерительные приборы, установив на панели стенда с мнемосхемой кнопки всех выключателей (S 1 ÷ S 6 , S" 1 ÷ S" 6) в положение «вкл». При этом должны засветиться зеленые цифры на электроизмерительных приборах.
6. Плавным поворотом по часовой стрелке ручки регулятора ЛАТРа (рис. 3.27) установить напряжение U на входе цепи порядка 20 ÷ 25 В, контролируя его цифровым вольтметром V (прибор ЩП02М, установленный слева на панели стенда – рис. 4.26). Следует поддерживать установленное напряжение постоянным во всех опытах с помощью ЛАТРа.
7. В процессе исследования цепи с последовательно соединенными катушкой индуктивности и батареей конденсаторов провести 9 опытов с различной емкостью батареи конденсаторов (величины емкостей для каждого опыта указаны в табл. 3.5) нажатием соответствующих кнопок выключателей на панели №4 стенда (рис. 3.28), постепенно увеличивая емкость с 40 мкФ до 200 мкФ. Перед подключением дополнительных конденсаторов в каждом опыте нужно обязательно отключить исследуемую цепь от источника питания (выхода ЛАТРа), переведя выключатели (S 1 , S" 1) в нижнее положение «откл», а перед проведением замеров вновь подключить к напряжению питания цепь с помощью тех же выключателей.
8. Во всех опытах измерить входное напряжение U , потребляемую активную мощность Р и протекающий по цепи ток I , соответственно цифровыми измерительными приборами: вольтметром V , ваттметром W и амперметром А (см. принципиальную схему на рис. 3.24 и панель стенда на рис. 3.26).
9. Напряжение на батарее конденсаторов U С и напряжение на катушке индуктивности U К с параметрами R K , L K измерить цифровыми вольтметрами, соответственно V C и V K , установленными на панели стенда (см. рис. 3.26).
10. Полученные результаты измерений каждого опыта занести в таблицу 3.5.
11. В конце измерительной части данной работы нужно отключить исследуемую цепь от источника питания и сам блок питания от силового щитка с помощью выключателей S 1 и S 1 " на панели с мнемосхемой (рис. 3.26) и красной кнопки «выкл» выключателя на панели блока питания (рис. 3.27). Сообщить преподавателю об окончании измерений и приступить к вычислениям параметров цепи.
То они по-своему воздействуют на генератор, питающий цепь, и на фазовые соотношения между током и напряжением .
Катушка индуктивности вносит сдвиг фаз, при котором ток отстает от напряжения на четверть периода, конденсатор же, наоборот, заставляет напряжение в цепи отставать по фазе от тока на четверть периода. Таким образом, действие индуктивного сопротивления на сдвиг фаз между током и напряжением в цепи противоположно действию емкостного сопротивления.
Это приводит к тому, что общий сдвиг фаз между током и напряжением в цепи зависит от соотношения величин индуктивного и емкостного сопротивлений.
Если величина емкостного сопротивления цепи больше индуктивного, то цепь носит емкостный характер, т. е. напряжение отстает по фазе от тока. Если же, наоборот, индуктивное сопротивление цепи больше емкостного, то напряжение опережает ток, и, следовательно, цепь носит индуктивный характер.
Общее реактивное сопротивление Хобщ рассматриваемой нами цепи определяется путем сложения индуктивного сопротивления катушки X L и емкостного сопротивления конденсатора Х С.
Но так как действие этих сопротивлений в цепи противоположно, то одному из них, а именно Хс приписывается знак минус, и общее реактивное сопротивление определяется по формуле:
Применив к этой цепи , получим:
Формулу эту можно преобразовать следующим образом:
В полученном равенстве I X L -действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление индуктивного сопротивления цепи, а I Х С -действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление емкостного сопротивления.
Таким образом, общее напряжение цепи, состоящей из последовательного соединения катушки и конденсатора, можно рассматривать как состоящее из двух слагаемых, величины которых зависят от величин индуктивного и емкостного сопротивлений цепи.
Мы считали, что такая цепь не обладает активным сопротивлением. Однако в тех случаях, когда активное сопротивление цепи не настолько уже мало, чтобы им можно было пренебречь, общее сопротивление цепи определяется следующей формулой:
где R - общее активное сопротивление цепи, X L -Х С - ее общее реактивное сопротивление. Переходя к формуле закона Ома, мы вправе написать:
Резонанс напряжений в цепи переменного тока
Индуктивное и емкостное сопротивления, соединенные последовательно, вызывают в цепи переменного тока меньший сдвиг фаз между током и напряжением, чем если бы они были включены в цепь по отдельности.
Иначе говоря, от одновременного действия этих двух различных по своему характеру реактивных сопротивлений в цепи происходит компенсация (взаимное уничтожение) сдвига фаз.
Полная компенсация, т. е. полное уничтожение сдвига фаз между током и напряжением в такой цепи, наступит тогда, когда индуктивное сопротивление окажется равным емкостному сопротивлению цепи, т. е. когда X L = Х С или, что то же, когда ωL = 1 / ωС.
Цепь в этом случае будет вести себя как чисто активное сопротивление, т. е. как будто в ней нет ни катушки, ни конденсатора. Величина этого сопротивления определится суммой активных сопротивлений катушки и соединительных проводов. При этом в цепи будет наибольшим и определится формулой закона Ома I = U / R , где вместо Z теперь поставлено R.
Одновременно с этим действующие напряжения как на катушке U L = I X L так и на конденсаторе Uc = I Х С окажутся равными и будут максимально большой величины. При малом активном сопротивлении цепи эти напряжения могут во много раз превысить общее напряжение U на зажимах цепи. Это интересное явление называется в электротехнике резонансом напряжений .
На рис. 1 приведены кривые напряжений, тока и мощности при резонансе напряжений в цепи.
Следует твердо помнить, что сопротивления X L и Х С являются переменными, зависящими от частоты тока, и стоит хотя бы немного изменить частоту его, например, увеличить, как X L = ωL возрастет, а Х С = = 1 / ωС уменьшится, и тем самым в цепи сразу нарушится резонанс напряжений, при этом наряду с активным сопротивлением в цепи появится и реактивное. То же самое произойдет, если изменить величину индуктивности или емкости цепи.
При резонансе напряжений мощность источника тока будет затрачиваться только на преодоление активного сопротивления цепи, т. е. на нагрев проводников.
Действительно, в цепи с одной катушкой индуктивности происходит колебание энергии, т. е. периодический переход энергии из генератора в катушки. В цепи с конденсатором происходит то же самое, но за счет энергии электрического поля конденсатора. В цепи же с конденсатором и катушкой индуктивности при резонансе напряжений (X L = Х С) энергия, раз запасенная цепью, периодически переходит из катушки в конденсатор и обратно и на долю источника тока выпадает только расход энергии, необходимый для преодоления активного сопротивления цепи. Таким образом, обмен энергии происходит между конденсатором и катушкой почти без участия генератора.
Стоит только нарушить резонанс напряжений в цени, как энергия магнитного поля катушки станет не равной энергии электрического поля конденсатора, и в процессе обмена энергии между этими полями появится избыток энергии, который периодически будет то поступать из источника в цепь, то возвращаться ему обратно цепью.
Явление это очень сходно с тем, что происходит в часовом механизме. Маятник часов мог бы непрерывно колебаться и без помощи пружины (или груза в часах-ходиках), если бы не силы трения, тормозящие его движение.
Пружина же, сообщая маятнику в нужный момент часть своей энергии, помогает ему преодолеть силы трения, чем и достигается непрерывность колебаний.
Подобно этому и в электрической цепи, при явлении резонанса в ней, источник тока расходует свою энергию только на преодоление активного сопротивления цепи, тем самым поддерживая в ней колебательный процесс.
Итак, мы приходим к выводу, что цепь переменного тока, состоящая из генератора и последовательно соединенных катушки индуктивности и конденсатора, при определенных условиях X L = Х С превращается в колебательную систему . Такая цепь получила название колебательного контура.
Из равенства X L = Х С можно определить значения частоты генератора, при которой наступает явление резонанса напряжений:
Наряду с полезным использованием явления резонанса напряжений в электротехнике технике часто бывают случаи, когда резонанс напряжений вреден. Большое повышение напряжения на отдельных участках цепи (на катушке или на конденсаторе) по сравнению с напряжением генератора может привести к порче отдельных деталей и измерительных приборов.
Переменная ЭДС. Она изменяется по закону:
Рисунок 1.
В цепи течет ток вида:
Амплитуда силы тока${\ (I}_m)$ связана с амплитудой ${{\mathcal E}}_m$ «законом Ома» для переменного тока:
Выражение:
полное электросопротивление. Угол ($\varphi $) на который колебания тока отстают от колебаний напряжения определен выражением:
Если изменить частоту колебаний ($\omega $). Как следует из формул (3) , (5) произойдёт изменение амплитуды силы тока ($I_m$) и сдвига фаз ($\varphi $).
Если $\omega =0$, то выражение $\frac{1}{\omega C}\to \infty $. Импеданс ($Z$) становится бесконечным, следовательно, $I_m=0.$ При $\omega =0$ мы имеем дело с постоянным током, который не проходит через конденсатор. Если начать увеличивать частоту, то величина реактивного сопротивления (${\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2$) сначала уменьшается, следовательно, уменьшается импеданс, увеличивается $I_m.$ Когда частота ($\omega $) становится равной резонансной частоте контура (${\omega }_0$):
полное сопротивление цепи ($Z$) становится минимальным и равным активному сопротивлению цепи ($R$). Сила тока при этом достигает максимума. При $\omega >{\omega }_0$ выражение ${\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2\ne 0$ и растет при росте частоты. Импеданс вновь увеличивается, амплитуда силы тока уменьшается, приближаясь к нулю асимптотически.
Графически вышеописанный процесс изображен на рис.2.
Рисунок 2.
Амплитуда силы тока при резонансной частоте ($\omega ={\omega }_0$) равна:
при этом разность фаз равна нулю ($\varphi =0$). В цепи как бы нет емкости и индуктивности. При этой частоте напряжения на емкости и индуктивности полностью взаимно компенсируются, становясь равными по модулю, так как они по фазе противоположны всегда. Такой резонанс называют резонансом напряжений. Векторная схема резонанса напряжений изображена на рис.3. При резонансе контур ведет себя как активное сопротивление.
Рисунок 3.
Замечание
Итак, случай вынужденных колебаний, когда частота генератора ЭДС (или приложенного внешнего напряжения) равна резонансной частоте, представляет особый интерес. При этом амплитуда тока достигает максимума, а сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю. Контур действует как активное сопротивление.
Применение резонанса напряжений
Явление резонанса напряжений используют в радиотехнике, если необходимо усилить колебания напряжения какой либо частоты, например в устройствах входной части радиоприемника. В этой части есть колебательный контур ($LC$). Добротность этого контура высока, напряжение с конденсатора контура подается на вход усилителя. Входные сигналы вызывают в антенне переменный ток довольно высокой частоты, который вызывает в катушке $L$ ЭДС взаимной индукции, амплитуда которой ${{\mathcal E}}_m\ \ $. Из-за резонанса на конденсаторе (значит и на входе) появляется напряжение с амплитудой ${{\mathcal E}}_mO>{{\mathcal E}}_m.$ Это усиление работает только в узком интервале частот, около резонансной частоты, что позволит выделить из большого количества сигналов разных радиостанций только колебания нужной частоты.
Пример 1
Задание: Чему равна амплитуда напряжения на конденсаторе ($U_{mC}$) при резонансе напряжений, если колебания затухают слабо? Добротность контура равна$\ O$. Внешняя ЭДС изменяется в соответствии с законом: ${\mathcal E}={{\mathcal E}}_m{sin \left(\omega t\right)\ }.$
Решение:
Амплитуда тока при резонансе достигает максимума, она равна:
где ${\omega }_0$ -- резонансная частота.
Следовательно, амплитуда напряжения на конденсаторе будет равна:
где емкостное сопротивление равно:
Подставим в формулу (1.2) $X_C$ из (1.3) и $I_{m\ }$ из (1.1) получим амплитуду напряжения на конденсаторе при резонансе:
Учтем, что:
\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}(1.5)\]
подставим выражение для резонансной частоты в формулу (1.4), получим:
где $O=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ -- добротность контура.
Ответ: $U_{mC}={{\mathcal E}}_mO.$
Пример 2
Задание: Чему равна амплитуда напряжения на индуктивности ($U_{mL}$) при резонансе напряжений, если колебания затухают слабо? Добротность контура равна$\ O$. Внешняя ЭДС изменяется в соответствии с законом: ${\mathcal E}={{\mathcal E}}_m{sin \left(\omega t\right)\ }.$
Решение:
Выражение для напряжения на индуктивности можно записать как:
где выражение для амплитуды тока ($I_m(\omega_0)$) при резонансе напряжений:
Проведем замену:
\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\left(2.4\right).\]
Получим, что амплитуда напряжения на индуктивности равна:
Ответ: $U_{mL}{={\mathcal E}}_mO.$
Колебания напряжения на конденсаторе и индуктивности имеют равные амплитуды, но их разность фаз равна $\pi $.
